摘 要:由于高阶滑模与传统滑模(一阶滑模)相比有更高的控制精度,把高阶滑模控制引入到∑-Δ调制器设计中来。在设计中,把高阶∑-Δ调制器看成一个带反馈的非线性动态系统,并把系统分成被控对象和控制器,然后应用高阶滑模进行控制设计。作为示例,用二阶滑模对三阶∑-Δ调制器进行了设计,仿真结果表明,基于高阶滑模控制设计的调制器信噪比高、量化误差小。
关键词:高阶∑-Δ调制器;非线性动态系统;高阶滑模;信噪比
目前高分辨率的A/D转换器大都采用∑-Δ调制。∑Δ调制本质上是采用负反馈方式逐步减小输入模拟信号与DAC反馈输出的差值,但它们的差值不是直接加到比较器,而是通过一个积分器后再送到比较器,与积分器输出比较的基准信号是地电平,因而它比常规的逐次逼近方式性能更好。它有更宽的动态范围。
目前用离散方式实现的∑-Δ调制器,其最佳性能已达到输入信号为10 MHz,且转换精度为24位。然而,离散时间的∑-Δ调制器对输入信号的最大频率有很强的限制,当输入信号的频率超过100 MHz时,它的性能将剧烈下降因此,离散时间∑-Δ调制器不适合于高频信号的A/转换。与离散时间实现的∑-Δ调制器相反,连续时间实现的∑-Δ调制器能在输入信号频率很高的情况下工作。由于只有高阶∑-Δ调制器才能提供优良的性能,然而高阶连续时间∑-Δ调制器很难稳定,人们采取了对不稳定性进行补偿的方法,但同时也引入了失真。尽管有很坚实的理论来对离散时间的∑-Δ调制器性能进行分析,但用来分析连续时间∑-Δ调制器的性能相应的理论很少,有人提出把控制系统的设计方法引入到调制器的设计中来[1-3]。首先提出了把调制器看成非线性动态系统并利用控制理论的方法对调制器进行设计和分析,文献[2]把一阶Δ调制器看成一个滑模观测器,并设计了一个自适应算法来调节控制增益以最小化量化步长。在文献[3]中用传统线性和非线性滑模分别对高阶∑-Δ调制器进行了设计,并对二者的性能进行了比较。
由于高阶滑模控制相对于传统(一阶)滑模具有更高的控制精度,并且在保持传统滑模的特性的同时能减小变结构控制的颤振[4],本文利用高阶滑模的优良特性对高阶∑-Δ调制器进行设计,首先把高阶∑-Δ调制器的结构分成控制器和被控对象两部分,然后针对调制器的结构设计出一般的高阶滑模控制器,最后用二阶滑模控制方法设计了一个三阶∑-Δ调制器,仿真结果表明,用二阶滑模设计的∑-Δ调制器与用传统滑模设计的∑-Δ调制器相比,有更好的性能。
1 ∑-Δ调制器
∑-Δ调制器与传统的脉冲编码调制器不同,脉冲编码调制需要很多的模拟比较器,对模拟信号的采样频率必须满足香农采样定理,在这里称满足香农采样定理的采样频率为奈奎斯特率,而∑-Δ调制器只需要一个比较器,但是它的采样频率要远高于奈奎斯特率,所以又称之为过采样A/D转换器。∑-Δ调制器的一般形式的原理框图如图1所示。
由于模拟信号经过高频采样,这放宽了对前置抗混叠滤波器的要求,这种结构使得具有简单结构的低成本、高精度的A/D转换器成为可能。
1.1 一阶∑-Δ调制器
简单的,连续时间实现的一阶∑-Δ调制器结构图如图2所示,其中m(t)为模拟信号,u[n]为数字的离散时间信号{-1,+1},Tos=1/fos为过采样时间步长。由于比较量化单元的输出u(t)只有两级,所以它可以直接表示成二元数字序列,又因为系统中含有非线性的量化环节,所以∑-Δ调制器可以看成带反馈的非线性动态系统。
1.2 高阶∑-Δ调制器
增加调制器的阶数,也就是增加调制器模拟部分的积分器个数,可以提高噪声抑制性能,进而使系统具有更高的分辨率,但是随着调制器阶数的增加,系统的稳定性成为一个突出的问题。尽管人们对照离散时间∑-Δ调制器的结构设计连续时间的∑-Δ调制器,但所设计出来的调制器的稳定性仍需要经过大量的仿真来对其稳定性进行验证。图3为控制系统形式的n阶∑-Δ调制器的原理框图。
n阶单输入单输出控制系统的状态方程可以表示成如下形式:
.x(t) =A·x(t)+B·(m(t)-u(t))
y= x1
式中,状态变量x(t)=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×1,u∈R1为控制信号,m(t)∈R1为“外部干扰”信号,A∈Rn×n为任意矩阵,B=[b1,b2,…,bn-11]T∈Rn×1,(b1,b2,…,bn-1)为任意常数。
2 高阶滑模控制器
众所周知,当系统存在各种内部不确定性和外部干扰时,一阶滑模控制仍能保持较高的精度和鲁棒性,其基本的思想是通过不连续的反馈使系统状态限制在预先确定的滑模面S={x∈Γ|σ(x,t)=0,Γ∈Rn}上运动,这时系统的滑模动态满足合适的动态行为[5]。但是,高频控制切换也就是所谓的颤振导致系统状态的高频振动。为了减小颤振同时保持原来滑模的优良特性,提出了高阶滑模控制[6]。
定义 考虑具有光滑输出函数σ的相对阶为r动态系统
.x=a(t,x)+b(t,x)u,σ=σ(t,x)
如果对时间的连续全导数σ,.σ,…,σ(r-1)为闭环系统状态变量的连续函数,同时集合σ=.σ=…=σ(r-1)=0非空且包含局部的Filippov轨迹[7],那么在集合σ=.σ=…=σ(r-1)=0上的运动称为r阶滑模。
由于r阶滑模的不连续反馈是直接作用在σr上的,这样减弱了系统的颤振,同时,有限时间到达的一阶滑模在具有零阶保持器的离散控制下,系统状态保持在滑动模上的精度是采样时间的一阶无穷小,即O(T),而有限时间到达r的阶滑模在具有零阶保持器的离散控制下,它的精度是采样时间的r阶无穷小,即O(Tr)。由于采样步长T往往小于1,所以高阶滑模比传统滑模具有更高的控制精度[8]。定理[8] 对给定的相对阶为r的系统
3 基于二阶滑模的∑-Δ调制器
下面用二阶滑模对阶数为3的∑-Δ调制器进行设计并以此为例来阐述基于高阶滑模控制的∑-Δ调制器的一般设计步骤。为控制系统形式的三阶∑-Δ调制器的结构原理。
4 仿真示例及结果
本文中的仿真是在Matlab中的Simulink环境中进行的。输入的模拟信号为三个正弦信号的和,它们的幅值和频率分别为0.5 V,0.3 V,0.2 V和10 MHz,60 MHz180 MHz。由于调制器的输出为1位高频数字信号,它不能直接与输入信号进行比较,所以在本文中将输出信号经过一个512阶的FIR滤波器进行滤波之后与经过适当时间延迟的输入信号进行比较,并把这两个信号的差值作为量化噪声。该调制器的设计带宽为B=22 050 kHz,过采样率为Nos=128Nos=fosB,所以仿真中的采样时间为Tos=0.000 354 3μs,仿真时间为0.000 000 06 s。仿真结果为输入信号随时间变化的曲线和经过数字滤波器滤波后的调制器的输出,为了看得更清晰,在这里只显示了0~0.000 000 006 s内的信号波形;经过数字滤波器滤波后的调制器的输出与经过延迟后的输入信号的差值,即量化噪声,控制过程中滑模随时间的变化曲线,由图可知,滑模变量值非常接近于零,这说明在控制输入下,系统进入滑动模态。而由仿真结果计算可知,输入信号的均方根为VsRMS=0.435 65 V,量化噪声的均方根为VnRMS=0.004 071 9 V,那么可得出调制器的信噪比为SNR=20log(VsRMS/VnRMS)=93.455 dB,用传统滑模所设计的三阶∑-Δ调制器量化噪声的均方根为V′nRMS=0.006 818 7 V,即其信噪比为83.133 dB,由此可见,用高阶滑模设计的调制器比传统滑模设计的调制器有更好的噪声抑制能力。
5 结 论
本文应用高阶滑模对高阶∑-Δ调制器进行了设计。在设计中,首先把高阶∑-Δ调制器看成控制系统的结构形式,并将之分为被控对象和控制器,然后用高阶滑模控制理论对之进行设计,最后用二阶滑模对三阶∑-Δ调制器进行了设计,并针对二阶滑模控制表达式中包含σ的一阶导数设计了鲁棒微分器和无相位滞后的低通滤波器。仿真结果表明基于高阶滑模设计的∑-Δ调制器与基于传统滑模设计的∑-Δ调制器相比具有更好的噪声抑制性能。
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