摘 要:采用拉格朗日方程建立平面倒立摆的动力学模型,并将其在平衡位置进行线性化,得到了系统在X和Y两个正交控制方向解耦的近似模型.针对每一个控制方向上由互相耦合的基座小车定位子系统和摆杆镇定子系统组成的欠驱动系统,设计了自适应滑模模糊控制器,实现了基座小车沿圆周行走条件下摆杆的运动平衡控制.行走实验验证了所提出控制算法的有效性.
关键词:平面倒立摆;解耦;欠驱动系统;自适应滑模;模糊控制
1 引 言
倒立摆是一类典型的不稳定、非线性、高阶次、欠驱动耦合系统.对倒立摆的控制涉及到控制科学中处理复杂对象的关键技术,因而倒立摆已成为公认的自动控制理论的典型实验设备[1,2].按照基的运动形式分类,倒立摆主要有直线型、旋转型(环形)和平面型3大类.目前,直线型倒立摆以结构相对简单、形象直观、构件参数易于改变和价格低廉等优点,已广泛应用于教学实验.虽然旋转型倒立摆的基座运动形式与直线倒立摆有所差异,但二者相同之处是基座仅有一个自由度,从而人们借鉴较为成熟的直线倒立摆的研究经验,产生了大量的理论成果[3].
平面倒立摆是上述3类倒立摆系统中最为复杂的一类,这是因为平面倒立摆的基座可以在平面内自由运动,具有2个自由度.平面倒立摆不仅在基座
平面内的2个正交控制方向存在耦合作用,而且在每个控制方向上的摆杆镇定和小车定位也存在耦合.另外,平面倒立摆的摆杆可以沿平面内的任一轴线转动,而角度的测量仅采用2个一维旋转编码器代替二维测量设备,所以其控制难度大大增加.平面倒立摆更加突出的非线性、耦合性、多变量特点,使其控制的实现更具挑战性.
本文以固高GPIP2002型平面倒立摆为研究对象,采用拉格朗日方程建立了平面倒立摆的数学模型.将其在平衡位置进行线性化,得到了2个在X和Y方向解耦、各具有2个二阶子系统的4阶欠驱动系统.针对X方向的每一个子系统设计了滑模面,根据滑模面斜率和各系统控制对系统动态性能的影响,分别采用模糊推理,根据系统状态实时调整滑模面的斜率和各子系统在系统控制中的作用,从而构成自适应滑模模糊控制器,并用于平面倒立摆的实物控制,实现了平面倒立摆的圆周行走.
2 平面倒立摆的动力学模型
2.1 系统描述
平面倒立摆系统的机械结构(见图1(a))由X和Y方向导轨、基座小车、摆杆以及连接摆杆与小车的虎克铰构成.与虎克铰同轴装置的2个旋转编码
器用来测量摆杆分别绕X和Y轴所转过的角度.
图1 平面倒立摆实物和建模示意图
用来驱动平面倒立摆基座小车的伺服电机有位置、速度和力矩3种控制模式.在实际过程中,由于小车与导轨之间的黏滞阻力以及小车的质量难以精确测量或时变等因素,很难在位置控制和力矩控制模式下设计控制器.因此,平面倒立摆的驱动电机采用速度控制模式,由伺服电机保证小车在一定的时间段内以恒定的加速度向一个很大的速度目标值加速,而施加到基座小车上的力则由电机的底层控制算法进行解算.
2.2 平面倒立摆的动力学模型
如图1(b)所示,首先建立全局坐标系OXYZ,并选取虎克铰的转动中心为基点A,建立以A为原点、平行于OXYZ的局部坐标系Ax1y1z1和以A为原点、z2轴沿摆杆轴线方向的局部坐标系Ax2y2z2.将平面倒立摆抽象成小车和匀质摆杆组成的系统.为基座小车、关节虎克铰和编码器的总质量;m为摆杆的质量;l表示虎克铰中心A到摆杆质心C的距离;θx,θy为摆杆绕X和Y轴的转角;¨x,¨y表示小车沿X和Y轴方向的加速度.
3 滑模模糊控制
智能控制和变结构控制均可用于解决非线性问题,因此二者可以很好地结合起来,形成智能变结构控制,有效地克服传统变结构控制理论的缺陷,同时保持其鲁棒性强的优点,能够更好地解决复杂非线性系统的控制问题[4-7].滑模模糊控制是典型的智能变结构控制方法,它在滑模控制系统的趋近阶段通过模糊逻辑调节控制作用来补偿未建模动力学的影响,使系统轨迹既能快速趋近滑动面,又能降低抖振,从而提高控制系统的品质[6-8].
4 平面倒立摆的自适应滑模模糊控制
针对式(6)所描述的具有2个子系统的4阶欠驱动倒立摆系统,控制目标是确定有界的控制律u使得系统各状态量有界的前提下,xi快速跟踪参考输入量xdi.对于倒立摆系统.
5 实验结果
由式(6)和(7)可知,平面倒立摆在平衡点附近进行线性化后,X和Y方向解耦,并具有相同的动力学模型.所以,X方向采用的控制算法同样适用于Y方向.
为了实现高速实时控制,平面倒立摆的控制程序是在DOS环境下采用BORLAND C++语言编写并运行的,其中5 ms的采样周期和控制周期通过计算机的定时器中断实现.控制算法中的模糊调节器采用查表法进行模糊推理,自适应滑模模糊控制算法用C++代码实现.平面倒立摆不具备自动起摆的条件,需手动将摆杆竖起到平衡位置附近,待实时控制模块启动,对平面倒立摆的基座小车施加控制作用后放开摆杆,摆杆便在计算机控制系统的作用下保持平衡.
本实验规划使平面倒立摆的基座小车在20 s内行走一个圆心在点(8, 0) cm,半径为8 cm的目标圆周,以验证控制算法的有效性.平面倒立摆基座小车进行圆周行走的轨迹如图3所示.从图3可以看出,平面倒立摆X方向的位置响应跟踪余弦曲线的效果要优于Y方向,这是由于X导轨固定在钢板底座上,而Y向导轨在X向导轨上滑动, Y向导轨与X向导轨之间存在着一定的机械间隙,且X和Y方向的结构并不完全对称.对于X和Y方向的位置跟踪
曲线而言,在曲率半径小的区间段小车的向心加速度增大,所以位置跟踪效果较差.在XY二维平面上,因为必须通过基座小车的运动来镇定摆杆,从而导致了倒立摆基座小车的圆周行走轨迹并不能与目标轨迹完全吻合.
平面倒立摆圆周行走实验结果
6 结 论
采用拉格朗日方程建立了平面倒立摆的动力学模型.为了实现平面倒立摆的高品质控制性能,设计了自适应滑模模糊控制器,实现了平面倒立摆的圆周行走,主要结论如下:
1)平面倒立摆在平衡位置附近可近似为X和Y两个正交方向的直线型倒立摆,从而可以在2个方向分别设计控制器进行控制.
2)自适应滑模控制器将滑模控制与模糊控制有机地结合起来,并通过自适应调整滑模函数的斜率来保证控制系统的动态性能.系统的控制量通过
模糊推理给出,从而削弱了控制器对倒立摆线性化模型的依赖性.该方法既降低了控制器的设计难度,又保证了良好的控制品质.
3)平面倒立摆基座小车的圆周行走实验证实了自适应滑模模糊控制策略在由多个子系统互相耦合的欠驱动系统控制中的有效性.
|
