平面倒立摆自适应滑模模糊控制
摘 要:采用拉格朗日方程建立平面倒立摆的动力学模型,并将其在平衡位置进行线性化,得到了系统在X和Y两个正交控制方向解耦的近似模型.针对每一个控制方向上由互相耦合的基座小车定位子系统和摆杆镇定子系统组成的欠驱动系统,设计了自适应滑模模糊控制器,实现了基座小车沿圆周行走条件下摆杆的运动平衡控制.行走实验验证了所提出控制算法的有效性.
1 引 言
倒立摆是一类典型的不稳定、非线性、高阶次、欠驱动耦合系统.对倒立摆的控制涉及到控制科学中处理复杂对象的关键技术,因而倒立摆已成为公认的自动控制理论的典型实验设备[1,2].按照基座的运动形式分类,倒立摆主要有直线型、旋转型(环形)和平面型3大类.目前,直线型倒立摆以结构相对简单、形象直观、构件参数易于改变和价格低廉等优点,已广泛应用于教学实验.虽然旋转型倒立摆的基座运动形式与直线倒立摆有所差异,但二者相同之处是基座仅有一个自由度,从而人们借鉴较为成熟的直线倒立摆的研究经验,产生了大量的理论成果[3].
平面倒立摆是上述3类倒立摆系统中最为复杂的一类,这是因为平面倒立摆的基座可以在平面内自由运动,具有2个自由度.平面倒立摆不仅在基座平面内的2个正交控制方向存在耦合作用,而且在每个控制方向上的摆杆镇定和小车定位也存在耦合.另外,平面倒立摆的摆杆可以沿平面内的任一轴线转动,而角度的测量仅采用2个一维旋转编码器代替二维测量设备,所以其控制难度大大增加.平面倒立摆更加突出的非线性、耦合性、多变量特点,使其控制的实现更具挑战性.
本文以固高GPIP2002型平面倒立摆为研究对象,采用拉格朗日方程建立了平面倒立摆的数学模型.将其在平衡位置进行线性化,得到了2个在X和Y方向解耦、各具有2个二阶子系统的4阶欠驱动系统.针对X方向的每一个子系统设计了滑模面,根据滑模面斜率和各系统控制对系统动态性能的影响,分别采用模糊推理,根据系统状态实时调整滑模面的斜率和各子系统在系统控制中的作用,从而构成自适应滑模模糊控制器,并用于平面倒立摆的实物控制,实现了平面倒立摆的圆周行走.
2 平面倒立摆的动力学模型
2.1 系统描述
平面倒立摆系统的机械结构(见图1(a))由X和Y方向导轨、基座小车、摆杆以及连接摆杆与小车的虎克铰构成.与虎克铰同轴装置的2个旋转编码器用来测量摆杆分别绕X和Y轴所转过的角度.
文献[7]已证明,在参数选择合适的情况下,采用自适应滑模模糊控制的欠冗余系统是渐进稳定的.针对平面一级倒立摆系统的自适应模糊滑模控制框图如图2所示,控制器的参数依据平面倒立摆已有的线性二次最优控制经验初步选取,如表1所示.模糊调节器1的输入变量| s2|分为零、正小、正中、正大4个模糊集,各模糊集均选取均匀分布的全交迭、对称隶属度函数.模糊调节器2根据合成滑模函数s的值推理出倒立摆系统的控制量,其输入变量s分为负大、负小、零、正小、正大5个模糊集.为了实现对控制量的饱和限制,正大、负大选为梯形隶属度函数,其余选取三角形隶属度函数.
5 实验结果
由式(6)和(7)可知,平面倒立摆在平衡点附近进行线性化后,X和Y方向解耦,并具有相同的动力学模型.所以,X方向采用的控制算法同样适用于Y方向.
为了实现高速实时控制,平面倒立摆的控制程序是在DOS环境下采用BORLAND C++语言编写并运行的,其中5 ms的采样周期和控制周期通过计算机的定时器中断实现.控制算法中的模糊调节器采用查表法进行模糊推理,自适应滑模模糊控制算法用C++代码实现.
平面倒立摆不具备自动起摆的条件,需手动将摆杆竖起到平衡位置附近,待实时控制模块启动,对平面倒立摆的基座小车施加控制作用后放开摆杆,摆杆便在计算机控制系统的作用下保持平衡.本实验规划使平面倒立摆的基座小车在20 s内行走一个圆心在点(8, 0) cm,半径为8 cm的目标圆周,以验证控制算法的有效性.平面倒立摆基座小车进行圆周行走的轨迹如图3所示.从图3可以看出,平面倒立摆X方向的位置响应跟踪余弦曲线的效果要优于Y方向,这是由于X导轨固定在钢板底座上,而Y向导轨在X向导轨上滑动, Y向导轨与X向导轨之间存在着一定的机械间隙,且X和Y方向的结构并不完全对称.对于X和Y方向的位置跟踪曲线而言,在曲率半径小的区间段小车的向心加速度增大,所以位置跟踪效果较差.在XY二维平面上,因为必须通过基座小车的运动来镇定摆杆,从而导致了倒立摆基座小车的圆周行走轨迹并不能与目标轨迹完全吻合.
6 结 论
采用拉格朗日方程建立了平面倒立摆的动力学模型.为了实现平面倒立摆的高品质控制性能,设计了自适应滑模模糊控制器,实现了平面倒立摆的圆周行走,主要结论如下:
1)平面倒立摆在平衡位置附近可近似为X和Y两个正交方向的直线型倒立摆,从而可以在2个方向分别设计控制器进行控制.
2)自适应滑模控制器将滑模控制与模糊控制有机地结合起来,并通过自适应调整滑模函数的斜率来保证控制系统的动态性能.系统的控制量通过模糊推理给出,从而削弱了控制器对倒立摆线性化模型的依赖性.该方法既降低了控制器的设计难度,又保证了良好的控制品质.
3)平面倒立摆基座小车的圆周行走实验证实了自适应滑模模糊控制策略在由多个子系统互相耦合的欠驱动系统控制中的有效性.
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