摘要:针对多连杆机械手的跟踪控制问题,提出了具有时变边界层的滑模变结构控制设计,同固定宽度边界层滑模控制相比,在削弱滑模控制中抖振现象和对参数不确定性的鲁棒性的同时,进一步提高了控制精度.
关键词:机械手;时变边界层;滑模控制
引言
多连杆机械手是一个多输入多输出、强非线性、高耦合和含有许多变参数的复杂控制系统.因此按常规的线性控制方法来设计控制系统得不到理想效果,必须应用非线性系统理论对其进行分析和研究,以提高其工作性能[1-2].滑模控制是一种处理具有不确定性的非线性系统的控制方法,对系统的参数摄动及外部干扰具有很强的鲁棒性.但这种鲁棒性是通过控制量的高频抖动换来的,这就是变结构滑模控制系统中的抖振现象,它轻则会引起执行部件的机械磨损,重则会激励未建模的高频动态响应,而使控制失效[3].国内外学者已经提出了一些解决方法,其中常用的是在滑动流形附近引入一边界层,采用饱和函数代替开关函数,这种方法可以有效地抑制抖振.本文在常规定值边界层方法基础上,提出了一种时变边界层滑模控制方法,即以定量规则来确定边界层的厚度,最大限度地利用控制 带宽"[4].以两连杆关节机械手为例,进行了存在不确定载荷时的轨迹跟踪问题仿真研究.
1 系统动力学模型和控制系统设计
具有n个自由度的关节机械手,设q(t)是n×1关节向量;M(q)是n×n对称惯性矩阵;C(q,.q)是n×n哥氏力和离心力向量矩阵;G(q)是n×1重力向
量矩阵;τ是n×1广义关节力矩向量.动力学方程可以写出如下形式[5]:
M(q)¨q+C(q,.q).q+G(q)=τ(1)
注意到矩阵M(q)和C(q,.q)有以下特性:.qT(M-2C).q=0 (2)定义滑模平面向量s
s=q+Λq(3)
其中q=q-qd为跟踪误差(qd是参考输入),Λ为对称正定矩阵,通常设定为Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).进一步设
s=q+Λq=.q-.qr(4)其中.qr=qd-Λq,为参考输入速度.
定义Lyapunov函数
V(t)=12[sTMs] (5)
利用矩阵特性(2),于是有:
.V(t)=sT(τ-M¨qr-C.qr-G) (6)
若.V(t)<0,因M是正定,则当t→∞时,s=0,即满足滑模存在条件,q=0.对于系统(1)来说,保证满足上述滑模存在条件是其控制量τ为:
τ=^τ-ksgn(s) (7)
其中^τ为平衡控制量,另^τ=H^¨qr+C^.qr+G^(8)式(8)中H^,C^,G^分别为对应矩阵的名义值;k=diag(k1,k2,…,kn)为非线性控制增益,且各分量满足以下条件:
ki≥|[H¨qr+C.qr+G]i|+ηi(9)H,C,G为模型误差,即H=H^-H,C=C^-C,G=G^-G,ηi是正常数.显然,将控制率(7)代入系统(1),且利用条件
(9),可以得到:
V(t) =-∑ni=1ηi| si| (10)
式中 si滑模平面向量之分量由于不连续量sgn(s)的存在,系统(1)在控制(7)的作用下会产生抖振.常规平滑这种抖振的方法是采用宽度固定的饱和特性代替(7)中的开关特性,且饱和层宽度φ是根据非线性增益的最大幅值确定,虽然可以平滑抖振,但同时增加了系统的稳态误差;减小饱和层宽度,可以减小误差,但减少抖振的作用又会随之减弱.为了最大限度地利用控制 带宽",在保证控制精度的同时,有效地平滑抖振,可在滑模平面向量s的各分量上定义宽度随时间变化的饱和边界层bi(t),即bi(t)={x,|si(x,t)|≤φi(t)},φi(t)>0(11)式中 x系统的状态变量通过重新修正滑模存在条件,可以保证饱和边界层以外的系统状态都被吸引到bi(t)内.修正滑模存在条件:
|si(t)|≥φi(t) .Vi(t)≤(φi-ηi)|si|(12)
满足以上修正滑模存在条件,控制策略可设计为:τ=^τ-ksat(s,φ) (13)
对于系统(1),在控制率(13)的作用下,当系统的状态在|s(t)|≥φ(t)区域时,满足滑模存在的条件(12),状态被吸引向滑模平面;而当系统的状态在|s(t)|≤φ(t)区域时,以饱和特性代替了开关特性控制量中的不连续项转化成连续量,抖振得到了有效的抑制.同时时变边界层的采用,将减少由于边界层的应用而产生的控制误差.
2 机械手应用实例及仿真结果
以二连杆转动关节刚性机械手模型为例,讨论前述具有时变边界层滑模控制方法的应用过程,并进行仿真分析.机械手的结构如图1所示.
m1,l1,m2,l2分别是等截面匀质连杆1、2的质量和长度,mp为固连在连杆2端点的集中质量,I1,I2分别为连杆1、2绕质心的转动惯量,lc1,lc2为质心的位置,q1,q2为连杆转角,τ1,τ2是关节驱动力矩.
3 结束语
通过与固定边界层的仿真结果对比,结果表明,所提出的控制设计方案,保持了常规定值边界层滑模控制中平滑控制输入,满足了平滑控制量的要求,减少了控制抖振以及系统的跟踪控制误差.
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